Pythagorese drietallen

Inleiding

Iedereen kent de stelling van Pythagoras.
Het kwadraat van de hypotenusa (schuine zijde) van een rechthoekige driehoek is gelijk aan de som van de kwadraten van de rechthoekzijdes.

In formule uitgedrukt: (1) a2+b2=c2, waarbij a en b de rechthoekzijdes zijn en c de schuine zijde.

Een bewijs voor deze stelling vindt u bij de aflevering over bewijzen.

Belangrijk om hier al op te merken is dat het om een verhouding gaat.
Zo kennen veel mensen de zogenaamde 3-4-5-driehoek alsook de 5-12-13-driehoek. Dat zijn resp. rechthoekige driehoeken waarvan de zijdes zich verhouden als 3:4:5 en 5:12:13.

Overigens is het omgekeerde ook waar: Als in een driehoek de verhouding van de zijdes is uit te drukken in a2+b2=c2, dan is de driehoek rechthoekig.

In deze aflevering gaan we wat verder onderzoek doen naar gereduceerde drietallen a, b, c waarvoor de stelling van Pythagoras opgaat. Met gereduceerd wordt bedoeld dat de getallen a, b en c paarsgewijs relatief priem zijn, dus dat a en b geen andere delers gemeen hebben dan 1, evenzo voor a en c en voor b en c.

Verder moet hier nog opgemerkt worden dat het hier altijd om natuurlijke getallen gaat.

Als een drietal getallen a, b en c aan bovenstaande eigenschappen voldoen, dan praten we over een Pythagorees drietal.

Voorbeelden zijn dus 3, 4, 5, en 5, 12, 13. Geen Pythagorese drietallen zijn bijvoorbeeld: 6, 8, 10 en 20, 48, 52. De eerste is 2x(3, 4, 5), de tweede is 4x(5, 12, 13).

a is oneven, b is even en c is oneven

Omdat a, b en c paarsgewijs relatief priem zijn, is het niet mogelijk dat 2 van de 3 getallen even zijn, want dan zijn er 2 getallen met een gezamenlijke deler groter of gelijk aan 2, en zijn ze dus niet relatief priem.

Dus moeten er minstens 2 oneven getallen tussen zitten.

Er kunnen echter geen 3 oneven getallen tussen zitten, want het kwadraat van een oneven getal is weer oneven, terwijl de som van twee oneven getallen even is.
[stel a=2v+1, dan a2=(2v+1)2=4v2+4v+1=2(v2+2v)+1, is oneven.
stel x=2v+1, y=2w+1, dan x+y=2v+1+2w+1=2v+2w+2=2(v+w+1) is even.]

Dus we hebben noodzakelijkerwijs te maken met 1 even getal en 2 oneven getallen.

Het getal c kan niet even zijn, want dan moet c2 een viervoud zijn en moeten a en b oneven zijn.
[stel c=2v, dan c2=(2v)2=4v2=4(v2).]


Stel dat c wel even is.
Dan krijgen we: a=2v+1 en b=2w+1, a2=4v2+4v+1 en b2=4w2+4w+1 en dus a2+b2=4v2+4v+1+4w2+4w+1=4(v2+v+w2+w)+2, wat bij deling door 4 een rest van 2 oplevert, en dus geen viervoud is. Dus moet c oneven zijn.

Resumerend: of a of b is even en de andere oneven en c is oneven. Voor de rest van het verhaal nemen we a oneven, b even en c oneven.

Kijken we tot slot naar onze twee voorbeelden, dan geldt dus voor 3, 4, 5 dat a=3, b=4 en c=5. En voor 5, 12, 13 geldt dat a=5, b=12 en c=13.

Kennismaking met u en v

We kunnen a2+b2=c2 schrijven als b2=c2-a2=(c+a)(c-a).
Omdat c en a oneven zijn en c en a relatief priem, zijn hun som en verschil even getallen en hebben ze alleen een factor 2 gemeen.
[stel c=2v+1, a=2w+1, dan c+a=2v+1+2w+1=2(v+w+1) en c-a=(2v+1)-(2w+1)=2v+1-2w-1=2(v-w)]

Nu zijn (c+a)/2 en (c-a)/2 relatief priem.

Omdat b, c+a en c-a allen even zijn kunnen we b2=(c+a)(c-a) nu schrijven als: (b/2)2=((c+a)/2)((c-a)/2), waarbij de breuken allemaal gehele getallen zijn.

Het kwadraat (b/2)2 is het product van de 2 relatief priem factoren (c+a)/2 en (c-a)/2.

We gaan nu aantonen dat (c+a)/2 en (c-a)/2 beide ook kwadraten zijn.

Ieder getal is op unieke wijze te ontbinden in priemfactoren (hoofdstelling van de rekenkunde), zo ook b/2.

Stel b/2=pαqβrγ..., met p, q, r ... verschillende priemfactoren, dan (b/2)2=pqr... .

Alle priemfactoren van (b/2)2 moeten natuurlijk ook voorkomen in (c+a)/2 en (c-a)/2.
Maar omdat (c+a)/2 en (c-a)/2 relatief priem zijn moeten de priemfactoren van (b/2)2 verdeeld worden over (c+a)/2 en (c-a)/2,
en wel zo dat ieder van de priemfactoren p, q, r... ofwel geheel in (c+a)/2 ofwel geheel in (c-a)/2 zitten.

Dat betekent dat de priemfactoren van (c+a)/2 en (c-a)/2 allen een even macht bezitten, en dat ze dus noodzakelijkerwijs een kwadraat moeten zijn.
[pq... = (pα)2(qβ)2... = (pαqβ...)2]

Dus kunnen we nu schrijven: (c+a)/2=u2, (c-a)/2=v2 en (b/2)2=u2v2.

Omdat u2 en v2 relatief priem zijn, zijn ook u en v relatief priem.

We hebben nu dus (b/2)2=u2v2 b/2=uv b=2uv,
(c+a)/2=u2 c+a=2u2 c=2u2-a (I) en
(c-a)/2=v2 c-a=2v2 c=2v2+a, dan
2u2-a=2v2+a (want c=c) 2a=2u2-2v2 a=u2-v2, substitutie van a in (I) geeft: c=2u2-u2+v2=u2+v2.

Omdat zowel c als a oneven zijn, moet of u2 of v2 oneven zijn en de andere even.
Dat geldt dan ook voor u en v.

Resumerend:

Als a, b en c een Pythagorees drietal vormen dan

a=u2-v2, b=2uv en c=u2+v2,
u en v relatief priem, als u oneven is dan v even (en andersom).

Tot slot voegen we toe dat u>v, zodat a positief is.

Rest ons hier niets anders dan nog aan te tonen dat het omgekeerde ook waar is, dus
als we twee getallen u en v hebben onder de condities dat u en v relatief priem zijn en u even en v oneven (of andersom)
dat dan a=u2-v2, b=2uv en c=u2+v2 een Pythagorees drietal vormen.

u en v geven Pythagorees drietal

Uitgaande van de laatste alinea van de vorige paragraaf en de basisformule a2+b2=c2 krijgen we
(u2-v2)2+(2uv)2=u2-2u2v2+v2+4u2v2= u2+2u2v2+v2=(u2+v2)2 (=c2 met c=u2+v2).

Omdat u en v relatief priem zijn en u even en v oneven (of andersom) zijn c=u2+v2 en a=u2-v2 ook oneven, dus a, b en c hebben 2 niet als gemeenschappelijke factor.
[stel u is even, v oneven, zeg u=2x en v=2y+1, dan u2+v2=(2x)2+(2y+1)2= 4x2+4y2+4y+1=2(2x2+2y2+2y)+1, en
u2-v2=(2x)2-(2y+1)2=4x2-(4y2+4y+1)=4x2-4y2-4y-1= 2(2x2-2y2-2y)-1]

Stel dat a en c een andere (oneven) priemfactor zouden hebben, zeg c=pc1 en a=pa1, dan 2u2=c+a=p(c1+a1) en 2v2=c-a=p(c1-a1). Dus is p een factor van 2u2 en 2v2. Maar omdat p ongelijk aan 2 is moeten u2 en v2 dus een oneven factor p hebben, en dat is in tegenstrijd met het feit dat u en v relatief priem zijn.

Dus a en c hebben geen priemfactoren gemeen, zijn beide oneven, b is even, dus zijn a, b en c relatief priem.

We hebben nu dus aangetoond dat als u en v relatief priem zijn en u even en v oneven (of andersom) dat dan u en v
Pythagorese drietallen voortbrengen, met a=u2-v2, b=2uv en c=u2+v2.


Tot slot nog de opmerking dat b niet alleen maar even is, maar zelfs een 4-voud, want b=2uv, waarbij of u of v even is.

Voorbeelden

In de speurtocht naar Pythagorese drietallen hebben we het zoeken naar drie getallen weten terug te brengen naar het zoeken naar twee getallen.

We moeten dus zoeken naar twee getallen die relatief priem zijn en waarvan de één even is en de andere oneven.

In onderstaande tabel een aantal voorbeelden:

 u  v  a  b  c
2 1 3 4 5
3 2 5 12 13
4 1 15 8 17
4 3 7 24 25
5 2 21 20 29
5 4 9 40 41

Test-programma

Om aan te tonen dat het zoeken naar Pythagorese drietallen met de u-v-methode sneller is dan met de 'recht-toe-recht-aan'-methode is hier een programma waarmee u dat kunt testen.

Het programma is simpel van opzet, dus dat wijst zich van zelf.

Met de instellingen waarmee het opstart leveren de abc-methode alsook de uv-methode zo'n 1100 oplossingen. De tijd dat de abc-methode er over doet is bijna 10x zo lang als de uv-methode.
Het zijn overigens niet allemaal dezelfde oplossingen die beide methodes leveren.