Getal-eigenschappen

Deze eerste aflevering wil ik stil staan bij een aantal getal-eigenschappen.

Lievelingsgetal

Op de lagere school werd je vaak gevraagd naar je lievelings-dier, -kleur, en -getal. Het antwoord op de laatste vraag was vaak niet hoger dan 4 of de dag waarop je geboren bent. Mijn lievelingsgetal echter is 153. Waarom, zul je je afvragen. En zo niet, geef ik toch het antwoord. Honderddrieenvijftig bezit namelijk nogal wat eigenschappen, dat is waarschijnlijk ook de reden dat dit getal expliciet in de bijbel voorkomt, kabbalisme was in de tijd dat de bijbel werd geschreven nogal in de mode: "En zijn (Jesus') netten waren overvol, wel 153 vissen".

Allereerst is 153 een drievoud, dit is een getal dat deelbaar is door drie. Nu is dat niet zo bijzonder, want er zijn oneindig veel drietallen. Verder is 153 een zgn. driehoeksgetal. Een driehoeksgetal kun je schrijven als de som van de getallen 1 t/m n, waarbij n in het geval van 153, 17 is. Zo'n driehoeksgetal kun je opvatten als de hoeveelheid blikjes die je nodig hebt om een piramide te kunnen stapelen, waarbij iedere volgende rij naar boven steeds 1 blikje minder bevat. Dus met 153 blikjes kun je een piramide bouwen waarvan de onderste rij 17 blikjes bevat. 153 kun je ook schrijven als de som van de derde machten van de cijfers, ofwel 153 = 13 + 5+ 33. Maar het meest bijzondere is het volgende feit: Neem een willekeurig 3-voud, behalve 0, en bepaal de som van de derde machten van de cijfers. Dit levert een nieuw getal op, overigens ook een drievoud, waarom? Herhaal dezelfde handeling nu met dit nieuwe getal, en doe dat vervolgens nog een aantal maal. Je krijgt zo een keten van getallen. Het laatste getal in die keten zal altijd 153 zijn. Voorbeeld: begin eens met 24: 24 -> 72 -> 351 -> 153, of begin met 9: 9 -> 729 -> 1080 -> 513 -> 153.

 

Gelderman-getallen

Een Gelderman-getal is een getal dat je kunt schrijven als de som van de faculteiten van de cijfers. Een faculteit van een getal is het product van 1 t/m n en wordt door wiskundigen als n! geschreven. Zo is bv. 3! = 6 (1x2x3) en 4! = 24 (1x2x3x4). Faculteit zegt iets over het aantal verschillende manieren waarop je een aantal dingen kunt ordenen, zo kun je vier kleurpotloden op 24 (=4!) verschillende manieren naast elkaar neerleggen. Per definitie is 0! = 1. Een definitie in de wiskunde is een afspraak die wiskundigen makkelijk uitkomt. Met deze informatie is het gemakkelijk na te gaan dat 1 en 2 Gelderman-getallen zijn, nl. 1 = 1! en 2 = 2!, maar deze zijn natuurlijk flauw, wiskundigen zeggen dan evident of triviaal. Maar 145 is ook een Gelderman-getal, want 145 = 1! + 4! + 5!. Er bestaat nog een Gelderman-getal, probeer er zelf eens achter te komen welke dat is.

Vanaf 2018 ook op Wikipedia.

 

Filz-getallen

Filz-getallen zijn getallen die je kunt schrijven als het produkt van de som der cijfers en het produkt der cijfers. Wederom triviale oplossingen zijn 0 = 0 x 0 en 1 = 1 x 1. Er bestaan echter minimaal nog twee andere Filz-getallen, aan u de vraag die te vinden.

 

Perfecte of volmaakte getallen

Een perfect of volmaakt getal is een getal dat je kunt schrijven als de som der echter delers. Echte delers van een getal zijn alle delers behalve het getal zelf. Dit fenomeen is bedacht door studenten van de zgn. Pythagoreesche-school, die nogal wat mystieke waarden hechtte aan sommige getallen, zo ook de volmaakte. Een voorbeeld van een volmaakt getal is bv. 6, want 6 = 1 + 2 + 3, en 1, 2 en 3 zijn de echte delers van 6. 28 is ook een volmaakt getal. Kunt u de volgende twee volmaakte getallen vinden?

 

Bevriende getallen

Ook uit de Pythagoreesche-school komen bevriende getallen. Bevriende getallen zijn een paar getallen waarvan de som der echte delers van het ene getal het andere getal oplevert en de som der echte delers van het andere getal het ene getal oplevert. Zo zijn 220 en 284 bevriende getallen. Zoek het volgende paar bevriende getallen.

 

Voor de antwoorden kunt u het programma berekeningen.exe gebruiken.